Что значит выполни вычисления рационально. Рациональные способы вычислений. Формирование вычислительной культуры учащихся

05.03.2024 -

В далеком прошлом, когда еще не была придумана система исчисления, люди подсчитывали все на пальцах. С появлением арифметики и основ математики стало гораздо проще и практичнее вести учет товаров, продуктов, а также бытовых предметов. Однако как выглядит современная система исчисления: на какие виды делятся существующие числа и что значит "рациональный вид чисел"? Давайте разберемся.

Сколько разновидностей чисел существует в математике?

Само понятие "число" обозначает некую единицу любого предмета, которая характеризует его количественные, сравнительные или порядковые показатели. Для того чтобы правильно подсчитать количество определенных вещей или провести некие математические операции с числами (сложить, умножить и др.), в первую очередь следует ознакомиться с разновидностями этих самых чисел.

Итак, существующие числа можно разделить по следующим категориям:

Натуральные - это те числа, которыми мы подсчитываем количество предметов (самое меньшее натуральное число равно 1, логично, что ряд натуральных чисел бесконечен, т. е. не существует наибольшего натурального числа). Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N.
Целые числа. К этому множеству относятся все при этом в него добавляются и отрицательные значения, включая число "ноль". Обозначение множества целых чисел записывают в виде латинской буквы Z.
Рациональные числа - это те, которые мы мысленно можем преобразовать в дробь, числитель которой будет принадлежать множеству целых чисел, а знаменатель - натуральных. Чуть ниже мы разберем подробнее, что значит "рациональное число", и приведем несколько примеров.
- множество, в которое входят все рациональные и Обозначается данное множество буквой R.
Комплексные числа содержат в себе часть действительного и часть переменного числа. Используются в решении различных кубических уравнений, которые, в свою очередь, могут иметь в формулах под отрицательное выражение (i 2 = -1).

Что значит "рациональный": разбираем на примерах

Если рациональными считаются те числа, которые мы можем представить в виде обыкновенной дроби, то получается, что все положительные и отрицательные целые числа также входят в множество рациональных. Ведь любое целое число, например 3 или 15, можно представить в виде дроби, где в знаменателе будет единица.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 - вот примеры рациональных чисел.

Что значит "рациональное выражение"?

Идем дальше. Мы уже разобрали, что значит рациональный вид чисел. Давайте теперь представим себе математическое выражение, которое состоит из суммы, разности, произведения или частного различных чисел и переменных. Вот пример: дробь, в числителе которой сумма двух или нескольких целых чисел, а знаменатель содержит в себе как целое число, так и некую переменную. Именно такое выражение и называют рациональным. Исходя из правила "на ноль делить нельзя" можно догадаться, что значение данной переменной не может быть таковым, чтобы значение знаменателя обращалось в ноль. Поэтому при решении рационального выражения следует сначала определить область значения переменной. Например, если в знаменателе следующее выражение: x+5-2, то получается, что "x" не может быть равен -3. Ведь в таком случает все выражение превращается в ноль, поэтому при решении необходимо исключить целое число -3 для данной переменной.

Как правильно решать рациональные уравнения?

Рациональные выражения могут содержать в себе довольно-таки большое количество чисел и даже 2 переменные, поэтому порой их решение становится затруднительным. Для облегчения решения такого выражения рекомендуется произвести некие операции рациональным путем. Итак, что значит "рациональным способом" и какие правила необходимо применять при решении?

Первый вид, когда достаточно всего лишь упростить выражение. Для этого можно прибегнуть к операции сокращения числителя и знаменателя до несокращаемой величины. Например, если в числителе имеется выражение 18x, а в знаменателе 9х, то, сокращая оба показателя на 9x, получаем просто целое число, равное 2.
Второй способ практичен тогда, когда в числителе имеем одночлен, а в знаменателе - многочлен. Разберем на примере: в числителе имеем 5x, а в знаменателе - 5x + 20x 2 . В таком случае лучше всего вынести переменную в знаменателе за скобки, получим следующий вид знаменателя: 5x(1+4x). А теперь можно воспользоваться первым правилом и упростить выражение, сократив 5x в числителе и в знаменателе. В итоге получим дробь вида 1/1+4x.

Какие действия можно выполнять с рациональными числами?

Множество рациональных чисел имеет ряд своих особенностей. Многие из них весьма схожи с характеристикой, присутствующей у целых и натуральных чисел, ввиду того что последние всегда входят в множество рациональных. Вот несколько свойств рациональных чисел, зная которые, можно с легкостью решить любое рациональное выражение.

Свойство коммутативности позволяет суммировать два или несколько чисел, вне зависимости от их очередности. Проще говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Свойство дистрибутивности позволяет решать задачи с помощью распределительного закона.
И, наконец, операции сложения и вычитания.

Даже школьники знают, что значит "рациональный вид чисел" и каким образом решать задачи на основе таких выражений, поэтому взрослому образованному человеку просто необходимо вспомнить хотя бы азы множества рациональных чисел.

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

Список литературы.

Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Характеристика класса

5 “А” класс – неоднородный по составу, часть детей довольно сильные по знаниям, но выделяются и слабые. В общем, класс энергичный, учащиеся с интересом и с готовностью подхватывают начинания учителя.

Тема: Рациональные способы вычисления (урок является итоговым занятием, проводится после темы: “упрощение выражений” во II четверти, ? 3)

Тип урока: обобщение материала

а) образовательные

повторить свойства сложения, вычитания, умножение натуральных чисел
закрепит теорию знаний на практике
показать преимущество рациональных способов выполнения заданий, т. е. показать, что создание данного проекта нужно и значимо для самих детей
совершенствовать навык применения способов на практике;

б) развивающее

развивать умение делать выводы, систематизировать материал, сопоставлять способы с конкретным зданием, четко формулировать мысли
развивать умение проводить рефлексию своей познавательной деятельности
формировать творческое сознание, подлинную увлеченность делом;

в) воспитательные

воспитывать самостоятельность, коллективизм, умение слушать друг друга, уважать мнение другого, но и уметь доказывать свое.

Оборудование: магнитная доска и магниты, фломастеры, листья дерева (альбомные листы) , картинки кот Матроскин и Шарик, экран для слайдов.

Этап урока, время	Задачи	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Примечание
I Орг. Мо-мент	Настройка доброжелательности отношений	- Здравствуйте, ребята! Проверьте все ли у вас готово к уроку. Улыбнитесь друг другу, а теперь улыбнитесь мне! Я вижу у вас хорошее настроение можно начинать урок!	- улыбаются Всеобщее оживление	- на экране 1 слайд с текстом “Улыбни-тесь”
II Актуализация знаний	Заинтриго-вать детей Ненавязчиво подвести к теме урока Подвести итог этапа	- Ребята, вместе с нами сегодня будут работать кот Матроскин и Шарик. Дети, нужно решить 2 примера, по просьбе Шарика решаем весь урок! (прохожу по рядам, смотрю решение) Да ты что? (удивленно!) Вот молодец! Прошла всего одна минута! Давайте посмотрим, как эти примеры решили кот Матроскин и Шарик. Так решил кот Матроскин, а Шарик затрудняется. А как вы решили? Кто по другому? Кот Матроскин интересуется, а чем хорош этот способ, почему именно его применили? Этот способ и есть свойство! А как читается это свойство! Уточните относительно чего? Давайте еще раз скажем, что позволяет нам это свойство	- ура! (возгласы с места) (кто-то умножает в столбик!) Я уже решил! Ответы ребят Позволяет решать: Быстрее, Удобнее, Легче, проще, Экономит время Распределенный закон Сложения, вычитания Упрощать выражения Быстрее решать Легче, проще	- рисунок кота Матрос-кина и Шарика на доске На доске 6927+3127=2287-10287= (в столбик) 3) 27*(69+31) =2700 На экране 2 слайд
III Вве-дение ново-го поня-тия	Ввести новое понятие	- Все эти слова можно заменить словом: рациональное, где в обыденной жизни слышали это слово?	- по телевизору, на заводах рационали-заторы, рациональное питание	3 слайд
IV Опре-деле-ние темы	Определить тему	- Ребята! Шарик этим же способом пытается решить другой пример! Предлагаю ему помочь Как назвать это свойство? Это рациональный способ? Мы только эти два способа знаем? Хорошо, давайте сформулируем тему, а затем перечислим какие еще свойства мы знаем. Какова тема урока? Ваши предположения. С каким, словом тема будет связана? Обобщим! Что получилось?	- (уч-ся решают) (есть рисунок решения) Тем же способом не решить Сочетатель-ное свойство умножения Позволяет решать легче, быстрее, проще. Нет еще знаем способы! К слову “способ” можно добавить “какой” Способы вычисления! Рациональ-ные Рациональ-ные способы вычислений.	На доске Тема урока
V Целе-поло-гание	Постановка целей урока	- Ребята! Если заменить слово “способ! На “способы” на “способы” можно ли будет применять эти же понятия: “легче, быстрее, проще”? Что еще можно будет сказать о способах? Покажем это все на слайде Что вы заметили особого в схеме? Так какие цели каждый ставит на уроке? Давайте обобщим: Вспомнить, какие способы знаем, и упорядочить эти способы Вспомнить приемы упрощения выражений Закрепить их применение на практике Научиться сопоставлять способ с конкретным примером Это и есть цели или идеи нашего урока	- да! И заменим “какой” на слово “какие”! Где их применяют! Слово “какие” с “?” Вспомнить какие способы знаем, какие свойства, правила Узнать может быть новые способы. - (вместе с учащимися)	6 слайд
VI Сис-тема-тиза-ция зна-ний а) пос-танов-ка цели этапа 0. 5 мин б) инди-видуальная работа 1. 5 мин в) рабо-та в па-рах г) групповая работа	Создание проекта Самостоятельность выполнения Проговорить свои записи Поиск общего решения, выводы	- Ребята! Сегодня мы должны создать проект, в котором будут записаны известные вам способы (не меньше 8) и все что мы знаем о способах. Проект будет в виде дерева, к которому будем прикреплять листья. У Шарика появилось предположение: самостоятельно 2 минуты подумать, вспомнить способы упрощения выражений. Поддержим идею? Работаем в парах А теперь рассаживаемся по группам(4 человека) , Шарик с котом Матроскиным будут работать в паре. Обсуждаете ваши размышления, решения. У вас на партах лежат листочки, на каждом из них запишите по одному способу, затем мы их прикрепим к дереву Конечно, с примерами даже нагляднее будет Выбирайте, кто будет отвечать	- как будет выглядеть этот проект? (ученики самостоя-тельно работают, делают записи) - (озвучи-вают) (каждый ученик проговаривает свою мысль) (представи-тель группы записывает способы, остальные комменти-руют) Можно с примерами?	Группы террито-риально-обособле-ны
VII Физ-куль-тур-ная ми-нутка	Отдых учащихся	“Спал цветок и вдруг проснулся Больше спать не захотел Шевельнулся, потянулся Взвился вверх и полетел”	Проводит один из детей	8 слайд: “веселые картинки”
VIII Защи-та проек-та	Обобщить работу всех групп	- приглашаются представители каждой группы. . . (учитель направляет работу) Вот такое у нас получилось дерево, а сейчас посмотрим схему, которую сделал кот Матроскин, после того как послушал ваши выступления	Фразы учащихся: Я согласен с Петей … Наша группа хочет еще добавить… Можно еще в буквенном виде	На доске: Ствол дерева, дети крепят на магнитной доске магнитом листья (одинаковые ответы под один магнит)

В Приложении 1 представлена схема проекта.

IX Тестирование	Проверить на практике применение способов	- Ребята! Мы вспомнили теорию, а теперь проверим, как вы будете применять свои знания на практике А теперь поменяйтесь тетрадками с соседом и проверьте его работу. Нормы оценок: Нет ошибок: “5” 2 ошибки: “4” 3 ошибки: “3” а если больше 3-х, то вам необходимо потренироваться Что может быть причиной?	(уч-ся решают)	На доске слайд 10
			Тест
			В-I	B-2
			1) Выполнить удобным способом
			а) (30-4) 5= б) 85137-75137= г) 25296*4= д) 633-(163+387) =	а) 7(60-3) = б) 78214-78204= г) 4268*25= д) (964+27) -464=
			2) Решить уравнение
			х+3х+х=30	х+5х+х=98
			(оценивают друг друга) Я не успел Решал не используя способы, выполняя столбики	На экране слайд 11 с решением
X Подведение итогов 2мин (сам) 2мин (озвуч)	Прорефлекси-ровать свою работу	- что помнил? Что вспомнил? Что нового узнал? Что закрепил? Какой вывод для себя сделал? Молодцы ребята! И кот Матроскин многие способы вспомнил, а вот у Шарика мысли перепутались, давайте еще раз повторим все способы	- закрепил применение свойств при решении Научился сопоставлять свойство с конкретным примером Вспомнил что свойство записывается с помощью переменных Узнал что такое “рациональность” Понял что к каждому примеру свой подход Понял что законы работают в обе строки Понял, что рац. способы самые удобные способы Еще эти способы позволяют экономить время, упрощать решение и себе жизнь Понял, что способы позволяют решать устно, без столбиков
XI	Дать указание к д/з	- Ребята! 1. поговорите, дома с родными, знакомыми, может они знают еще какие либо способы 2. сделайте проект, со своими примерами, можно в виде облаков, цветов и т. д. , можно с помощью компьютера 3. показать младшим сестрам, братьям для заинтересованности их математикой 4. сделать отчет о проекте по памятке		- памятка расположе-на стенде
XII Заключение		- кот Матроскин и Шарик говорят вам “спасибо” и прощаются с вами ребята! Я тоже говорю вам “молодцы - за урок” и до свидания		Слайд12 Текст “Молодцы”

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .

Навигация по уроку:

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Пример 5 . Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:

Кожинова Анастасия

МУНИЦИПАЛЬНОЕ НЕТИПОВОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИЦЕЙ №76»

В ЧЕМ СЕКРЕТ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА?

Выполнила:

Ученица 5 «В» класса

Кожинова Анастасия

Руководитель:

Учитель математики

Щиклина Татьяна

Николаевна

Новокузнецк 2013

Введение………………………………………………………… 3

Основная часть....……………………………………….......... 5-13

Заключение и выводы………………………………............... 13-14

Список литературы……………………………………….................. 15

Приложения……………………………………………………. 16-31

I . Введение

Проблема : нахождение значений числовых выражений

Цель работы: поиск, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.

Задачи:

1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов.

2. Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, в сети Интернет.

3.Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета.

4.Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета.

5. Создать памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.

Объект исследования : рациональный счет.

Предмет исследования : способы рационального счета.

Для эффективности исследовательской работы я использовала следующие методики: анализ информации, полученной из различных ресурсов, синтез, обобщение; соцопрос в форме анкетирования. Анкета была мною разработана в соответствии с целью и задачами исследования, возраста респондентов и представлена в основной части работы.

В ходе исследовательской работы были рассмотрены вопросы, касающиеся способов и приемов рационального счета, и даны рекомендации по устранению проблем с вычислительными навыками, по формированию вычислительной культуры.

II . Основная часть

Формирование вычислительной культуры учащихся

5–6 классов.

Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.

В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.

Мы, школьники, сталкиваемся с такой проблемой повсеместно: на уроках, в домашних условиях, в магазине и т.п. Кроме этого после 9 и 11 классов нам придется сдавать экзамены в форме ИГА и ЕГЭ, где не допускается использование микрокалькулятора. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у каждого человека вычислительной культуры, элементом которой является овладение приемами рационального счета.

Особенно необходимо освоение приемов рационального счета

в изучении таких предметов, как – математика, история, технология, информатика и т. д., то есть рациональный счет помогает осваивать смежные предметы, лучше ориентироваться в изучаемом материале, в жизненных ситуациях. Так чего же мы ждем? Отправляемся в мир тайн Рациональных приемов счета!!!

Какие проблемы возникают у обучающихся при выполнении вычислений?

Часто у сверстников моего возраста возникают проблемы при выполнении различных заданий, в которых надо произвести вычисления быстро и удобным способом. Почему???

Вот некоторые предположения:

1. Учащийся плохо усвоил тему изученную тему

2. Учащийся не повторяет материал

3. Учащийся имеет плохие навыки счета

4. Учащийся не хочет изучать данную тему

5. Учащийся считает, что ему это не пригодится.

Все эти предположения я взяла из своего опыта и опыта моих одноклассников и сверстников. Однако в упражнениях вычислительного характера важную роль играют навыки рационального счета, поэтому я изучила, применяю и хочу представить Вам некоторые приемы рационального счета.

Рациональные методы устных и письменных вычислений.

В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память. Применение рациональных методов вычислений необходимо для повышения труда, точности и быстроты подсчетов. Быстрота и точность вычислений могут быть достигнуты только при рациональном использовании методов и средств механизации вычислений, а также при правильном использовании способов устного счета.

I . Приемы упрощенного сложения чисел

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.

Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

Решение. Расчет произведем в такой последовательности:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Ответ: 8 851. (сочетально-переместительный закон)

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.

Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Ответ: 8851.

Способ круглого числа . Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.

Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.

Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.

Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431. (сочетательный закон)

Способ группировки слагаемых . Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.

Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(сочетательно-переместительный закон)

или, когда при группировке чисел получаются одинаковые суммы:

Пример:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101х50=5050

(сочетательно-переместительный закон)

II . Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.

Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.

Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:

представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398;

выполним поразрядное вычитание:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Способ круглого числа . Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

Пример . Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.

Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III . Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.

Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

Способ последовательного поразрядного умножения . Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале однозначныймножитель умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30+9) х 7 =(30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (распределительный закон умножения относительно сложения)

Способ круглого числа . Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.

Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.

174 x 69 =174 х (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (распределительный закон умножения относительно вычитания)

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.

Пример . Найдем произведение чисел 13 и 325.

Разложим число 13 на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975. Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225

Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми приведенными арифметическими действиями. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность. Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, классы и разряды.

Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.

Умножение двузначного числа на 11.

Мы изучали этот метод, но мы не изучили его до конца секрет этого метода в том, что его можно посчитать законами арифметических действий.

Примеры:

23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения)

23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа)

Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.

Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр.

а) 23 11=253, т. к. 2+3=5;

б) 45 11=495, т. к. 4+5=9;

в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен;

г) 78 11=858, т. к. 7+8=15, то число десятков будет равно 5, а цифра сотен увеличится на единицу и будет равна 8.

Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.

2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д.

Правило : цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц.

а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621.

б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.

в) 52 58=3016, т. к. цифру десятков 5 умножаем на 6, будет 30, приписываем произведение 2 и 8, т. е 16.

г) 61 69=4209. Понятно, что 6 умножили на 7 и получили 42. А откуда нуль? Единицы перемножили и получили: 1 9=9, но результат должен быть двузначным, поэтому берем 09.

Примеры: а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6; б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9.

в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21.

г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24.

Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.

III . Заключение

Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять, в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого,

искать новые способы это:

- Приемы упрощенного сложения чисел : (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые);

-Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа);

-Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей;

- Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.

IV. Список литературы

Савин А. П. Математические миниатюры / А. П.Савин. – М.: Детская литература, 1991

2. Зубарева И.И., Математика,5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Mathematics-repetition. ru

V . Приложения

Мини исследование (опрос в форме анкетирования)

Для выявлений знаний учащихся о рациональном счете, мною был проведен опрос в форме анкетирования по следующим вопросам:

* Знаешь ли ты что такое рациональные приемы счета?

* Если да, то откуда, а если нет, то почему?

* Сколько способов рационального счета ты знаешь?

* Возникают ли у тебя трудности в устном счете?

* Как ты учишься по математике? а) на «5»; б) на «4»; в) на «3»

* Что тебе больше всего нравится по математике?

а) примеры; б) задачи; в) дроби

* Как ты думаешь, где может пригодиться устный счет, кроме математики? *Помнишь ли ты законы арифметических действий, если да то какие?

Проведя соцопрос, я поняла, что мои одноклассники недостаточно знают законы арифметических действий, у большинства из них есть проблемы с рациональным счетом, многие ученики считают медленно и с ошибками и все хотят научиться считать быстро, верно и удобным способом. Поэтому тема моей исследовательской работы крайне важна для всех учащихся и не только.

1. Интересные устные и письменные способы вычислений, которые мы изучили на уроках математики, на примерах учебника «математика, 5 класс»:

Вот некоторые из них:

чтобы быстро умножить число на 5 , достаточно заметить, что 5=10:2.

Например, 43x5=(43х10):2=430:2=215;

48х5=(48:2)х10=24х10=240.

Чтобы число умножить на 50 , можно умножить его на 100 и разделить на 2.

Например: 122х50=(122х100):2=12200:2=6100

Чтобы число умножить на 25 , можно умножить его на 100 и разделить на 4,

Например, 32х25=(32 х 100):4=3200:4=800

Чтобы число умножить на 125 , можно умножить его на 1000 и разделить на 8 ,

Например: 192х125=(192х1000):8=192000:8=24000

Чтобы круглое число, в конце которого два 0, разделить на 25 , можно разделить его на 100 и умножить на 4.

Например: 2400:25=(2400:100) х 4=24 х 4=96

Чтобы круглое число разделить на 50 , можно разделить на 100 и умножить на 2

Например: 4500:50=(4500:100) х 2 =45 х 2 =90

Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, состав числа (классы и разряды) и иметь навыки их применения

Законы арифметических действий.

a + b = b + a

Переместительный закон сложения

(a + b ) + c = a + (b + c )

Сочетательный закон сложения

a · b = b · a

Переместительный закон умножения

(a · b ) · c = a · (b · c )

Сочетательный закон умножения

(a = b ) · c = a · c = b · c

Распределительный закон умножения (относительно сложения)

Таблица умножения.

Что такое умножение?

Это умное сложение.

Ведь умней умножить раз,

Чем слагать все целый час.

Умножения таблица

Всем нам в жизни пригодиться.

И недаром названа

УМНОжением она!

Разряды и классы

Для того чтобы было удобно читать, а так же запоминать числа с большими значениями их следует разбивать на так называемые «классы»: начиная справа, число разделяют пробелом на три цифры «первый класс», затем еще выбирают три цифры, «второй класс» и так далее. В зависимости от значения числа, последний класс может оканчиваться как тремя, так и двумя или одной цифрой.

Например, число 35461298 записывается следующим образом:

Это число разбито на классы:

482 – первый класс (класс единиц)

630 – второй класс (класс тысяч)

35 – третий класс (класс миллионов)

Разряд

Каждая из цифр, входящая в состав класса, называется его разрядом, отсчёт которых также идет справа.

Например, число 35 630 482 можно разложить на классы и разряды:

482 – первый класс

2 – первый разряд (разряд единиц)

8 – второй разряд (разряд десятков)

4 – третий разряд (разряд сотен)

630 – второй класс

0 – первый разряд (разряд единиц тысяч)

3 – второй разряд (разряд десятков тысяч)

6 – третий разряд (разряд сотен тысяч)

35 – третий класс

5 – первый разряд (разряд единиц миллионов)

3 – второй разряд (разряд десятков миллионов)

Число 35 630 482 читается:

Тридцать пять миллионов шестьсот тридцать тысяч четыреста восемьдесят два.

Проблемы с рациональным счетом и как их устранить

Рациональные приемы запоминания.

В результате анкетирования и наблюдений с уроков я заметила, что часть учеников плохо решают различные задачи и упражнения потому, что не знакомы с рациональными приемами вычислений.

1. Один из приемов - приведение изучаемого материала в систему, удобную для запоминания и сохранения в памяти.

2. Чтобы запоминаемый материал хранился памятью в определенной системе, надо провести некоторую работу над его содержанием.

3. Затем можно заняться усвоением каждой отдельной части текста, перечитывая ее и стараясь тут же воспроизводить (повторять про себя или вслух) прочитанное.

4. Огромное значение для запоминания имеет повторение материала. Об этом говорит и народная пословица: «Повторение - мать учения». Но и повторять надо разумно и правильно.

Работу по повторению надо оживлять, привлекая иллюстрации или примеры, которых раньше не было или они уже оказались забыты.

На основе сказанного можно кратко сформулировать следующие рекомендации для успешного усвоения учебного материала:

1. Поставить задачу, быстро и прочно запомнить учебный материал на длительное время.

2. Сосредоточить внимание на том, что надо усвоить.

3. Хорошо понять учебный материал.

4. Составить план запоминаемого текста, выделив в нем основные мысли, разбить текст на части.

5. Если материал большой, последовательно усваивать одну часть за другой, а затем уже излагать все в целом.

6. После прочтения материала надо его воспроизводить (рассказывать прочитанное).

7. Повторять материал, пока он еще не забыт.

8. Распределять повторение на более продолжительное время.

9. Использовать при запоминании разные виды памяти (прежде всего смысловую) и некоторые индивидуальные особенности своей памяти (зрительную, слуховую или двигательную).

10. Трудный материал следует повторять перед сном, а затем утром, «на свежую память».

11. Стараться применять полученные знания на деле. Это лучший способ их сохранения в памяти (недаром говорят: «Настоящая мать учения не повторение, а применение»).

12. Надо больше приобретать знаний, узнавать, что то новое.

Теперь вы узнали как нужно быстро и правильно запоминать изученный материал.

Интересный прием умножениянекоторых чисел на 9в сочетании со сложениемпоследовательных натуральных чисел от 2 до 10

12345х9+6=111111

123456х9+7=1111111

1234567х9+8=11111111

12345678х9+9=111111111

123456789х9+10=1111111111

Интересная игра «Угадай число»

Вы играли в игру «Угадай число»? Это очень простая игра. Скажем, я загадываю натуральное число, меньшее 100, записываю его на бумаге (чтобы не было возможности сжульничать), а вы попытаетесь его отгадать, задавая вопросы, на которые можно лишь отвечать «да» или «нет». Потом вы загадываете число, а я пытаюсь его отгадать. Кто угадает за меньшее число вопросов тот выиграл.

Сколько вопросов вам понадобится, чтобы угадать мое число? Не знаете? Я берусь угадать ваше число, задав всего семь вопросов. Как? А вот, например, как. Пусть вы загадали число. Я спрашиваю: «Оно меньше, чем 64?» - «Да». – «Меньше, чем 32?» - «Да». – «Меньше, чем 16?» - «Да». – «Меньше, чем 8?» - «Нет». – «Меньше, чем 12?» - «Нет». – «Меньше, чем 14?» - «Да». – «Меньше, чем 13?» - «Нет». – «Задумано число 13».

Понятно? Я делю набор возможных чисел пополам, потом оставшуюся половину снова пополам и так далее, пока в оставшейся части не окажется одно число.

Если тебе понравилась игра или наоборот ты хочешь большего, то зайди в библиотеку и возьми книгу «А. П.Савин (Математические миниатюры). В этой книге ты найдешь много интересного и увлекательного. Изображение книги:

Спасибо всем за внимание

И желаю успехов!!!

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В чем секрет рационального счета?

Цель работы: поиск информации, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.

задачи: 1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов. 2.Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, а также в сети Интернет. 3. Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета. 4. Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета. 5. Создать Памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.

Как я уже сказала тема рационального счета актуальна не только ученикам, но и для каждого человека, чтобы в этом убедиться я провела соцопрос среди учеников 5 класса. Вопросы и ответы анкетирования Вам представлены в приложение.

Что такое рациональный счет? Рациональный счет – это удобный счет (слово рациональный – означает удобный, правильный)

Почему возникают трудности у учеников???

Вот некоторые предположения: Учащийся: 1. плохо усвоил изученную тему; 2. не повторяет материал; 3. имеет плохие навыки счета; 4 . считает, что ему это не пригодится.

Рациональные методы устных и письменных вычислений. В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память.

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты. I. Приемы упрощенного сложения чисел

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого. Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя этот способ. Решение. Расчет произведем в такой последовательности: 5 287 + 3 000 = 8 287; 8 287 + 500 = 8 787; 8 787 + 60 = 8 847; 8 847 + 4 = 8 851 . Ответ: 8 851.

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д. Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Ответ: 8851.

Способ круглого числа. Число, оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000 . Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения. Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа. Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431.

Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой. Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26. Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Способ сложения основанный на группировке слагаемых. Пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101х50=5050.

II. Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить. Пример. Найдем разность чисел 721 и 398 . Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности: представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398; выполним поразрядное вычитание:721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение. Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа. Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы. Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100. Решение. 568 x 100 = 56 800.

Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7 . Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе. Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69 . Решение. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325 . Решение. Разложим число на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225.

Секреты быстрого устного счета. Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.

Умножение двузначного числа на 11 .

Примеры: 23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения) 23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа) Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.

Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр. Примеры. а) 23 11=253, т. к. 2+3=5; б) 45 11=495, т. к. 4+5=9; в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен; Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.

2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д. Правило: цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц. Примеры. а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621 . б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.

3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа). Примеры. а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6 . б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9 . в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21 . г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24 . Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.

Заключение Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять,в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, знать таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого, искать новые способы это:

Приемы упрощенного сложения чисел: (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые); - Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа); - Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей; - Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.

В заключение хочу закончить свое выступление такими словами:

Спасибо всем за внимание, желаю успехов!!!

Что значит выполни вычисления рационально. Рациональные способы вычислений. Формирование вычислительной культуры учащихся

Сколько разновидностей чисел существует в математике?

Что значит "рациональный": разбираем на примерах

Что значит "рациональное выражение"?

Как правильно решать рациональные уравнения?

Какие действия можно выполнять с рациональными числами?

Определение и примеры рациональных чисел

Является ли данное число рациональным?

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Свежие записи