Свойства открытых и замкнутых множеств. Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества. Бинарные алгебраические операции
Определение: Множество A называется замкнутым относительно операции *, если результат применения этой операции к любым элементам множества A также является элементом множества A . (Если для любых a,b Î A , a *b Î A , то множество A замкнуто относительно операции *)
Для доказательства замкнутости множества относительно операции необходимо либо непосредственным перебором всех случаев убедиться в этом (пример 1б), либо провести рассуждение в общем виде (пример 2). Чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно привести один пример, демонстрирующий нарушение замкнутости (пример 1а).
Пример 1 .
Пусть A = {0;1}.
а) В качестве операции * возьмем арифметическую операцию сложения (+). Исследуем множество A на замкнутость относительно операции сложения (+):
0 + 1 = 1 Î A ; 0 + 0 = 0 Î A ; 1 + 0 = 1Î A ; 1 + 1 = 2 Ï A .
Имеем, что в одном случае (1+1) результат применения операции (+) к элементам множества A не принадлежит множеству A . На основании этого делаем вывод о том, что множество A не является замкнутым относительно операции сложения.
б) Теперь в качестве операции * возьмем операцию умножения (×).
0×1 = 0 Î A ; 0×0 = 0 Î A ; 1×0 = 0 Î A ; 1×1 = 1 Î A .
Для любых элементов множества A результат применения операции умножения также является элементом множества A . Следовательно, A замкнуто относительно операции умножения.
Пример 2 .
Исследовать на замкнутость относительно четырех арифметических операций множество целых чисел, кратных 7.
Z 7 = {7n , n Î Z } – множество чисел, кратных семи.
Очевидно, что Z 7 – незамкнуто относительно операции деления, так как, например,
7 Î Z 7 , 14 Î Z 7 , но 7: 14 = ½ Ï Z 7 .
Докажем замкнутость множества Z 7 относительно операции сложения. Пусть m , k – произвольные целые числа, тогда 7m Î Z 7 и 7k Î Z 7 . Рассмотрим сумму 7m + 7 k = 7∙(m + k ).
Имеем m Î Z , k Î Z . Z – замкнуто относительно сложения Þ m + k = l – целое число, то есть l Î Z Þ 7l Î Z 7 .
Таким образом, для произвольных целых чисел m и k доказали, что (7m + 7 k) Î Z 7 . Следовательно, множество Z 7 замкнуто относительно сложения. Аналогично доказывается замкнутость относительно операций вычитания и умножения (проделайте это самостоятельно).
| |
1.
а) множество четных чисел (иначе: множество целых чисел, делящихся на 2(Z 2));
б) множество отрицательных целых чисел (Z –);
в) A = {0;1};
г) C = {–1;0;1}.
2. Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:
а) множество нечетных чисел;
б) множество натуральных чисел, последняя цифра которых нуль;
в) B = {1};
г) D = {–1;1}.
3.
а) множество N натуральных чисел;
б) множество Q рациональных чисел;
в) D = {–1;1};
г) множество нечетных чисел.
4. Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:
а) множество Z целых чисел;
б) множество R действительных чисел;
в) множество четных чисел;
г) C = {–1; 0; 1}.
5. Пусть множество G , состоящее только из рациональных чисел, замкнуто относительно сложения.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве G, если известно, что оно содержит число 4.
б) Докажите, что множество G содержит число 2, если оно содержит числа 5 и 12.
6. Пусть множество K , состоящее только из целых чисел, замкнуто относительно вычитания.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве K , если известно, что оно содержит число 5.
б) Докажите, что множество K содержит число 6, если оно содержит числа 7 и 3.
7. Приведите пример множества, состоящего из натуральных чисел и незамкнутого относительно операции:
а) сложения;
б) умножения.
8. Приведите пример множества, содержащего число 4 и замкнутого относительно операций:
а) сложения и вычитания;
Пусть даны два множества X и Y, совпадающие или нет.
Определение. Множество упорядоченных пар элементов, из которых первый принадлежит X, а второй Y, называется декартовым произведением множеств и обозначается .
Пример.
Пусть
,
,
тогда
.
Если
,
,
тогда
.
Пример.
Пусть
,
где R – множество всех вещественных
чисел. Тогда
есть множество всех декартовых координат
точек плоскости.
Пример.
Пусть
– некоторое семейство множеств, тогда
декартовым произведением этих множеств
называется множество всех упорядоченных
строк длины n:
Если
,
то.
Элементы из
– это
векторы-строки
длины n.
Алгебраические структуры с одной бинарной операцией
1 Бинарные алгебраические операции
Пусть
– произвольное конечное или бесконечное
множество.
Определение.
Бинарной
алгебраической
операцией (внутренним
законом композиции
)
на
называется произвольное, но фиксированное
отображение декартова квадрата
в
,
т.е.
(1)
(2)
Таким
образом, любой упорядоченной паре
.
Тот факт, что
,
записывается символически в виде
.
Как
правило, бинарные операции обозначаются
символами
и т.д. Как и ранее, операция
означает «сложение», а операция «»
– «умножение». Они различаются формой
записи и, возможно, аксиомами, что будет
ясно из контекста. Выражение
будем называть произведением, а
– суммой элементов
и
.
Определение.
Множество
называется замкнутым относительно
операции,
если для любых
.
Пример.
Рассмотрим
множество целых неотрицательных чисел
.
В качестве бинарных операций на
будем рассматривать обычные операции
сложения
и умножения.
Тогда множества
,
будут замкнуты относительно этих
операций.
Замечание.
Как
следует из определения, задание
алгебраической операции * на
,
эквивалентно замкнутости множества
относительно этой операции. Если
оказывается, что множество
не замкнуто относительно заданной
операции *, то в этом случае говорят, что
операция * не алгебраическая. Например,
операция вычитания на множестве
натуральных чисел не алгебраическая.
Пусть
и
два множества.
Определение.
Внешним
законом
композиции
на множестве
называется отображение
,
(3)
т.е.
закон, посредством которого любому
элементу
и любому элементу
ставится в соответствие элемент
.
Тот факт, что
,
обозначается символом
или
.
Пример.
Умножение
матрицы
на число
является внешним законом композиции
на множестве
.
Умножение чисел в
можно рассматривать и как внутренний
закон композиции, и как внешний.
дистрибутивным
относительно внутреннего закона
композиции * в
,
если
Внешний закон композиции называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в Y, если
Пример.
Умножение
матрицы
на число
дистрибутивно как относительно сложения
матриц, так и относительно сложения
чисел, т.к.,.
Свойства бинарных операций
Бинарная
алгебраическая операция
на множестве
называется:
Замечание. Свойства коммутативности и ассоциативности независимы.
Пример.
Рассмотрим
множество целых чисел
.
Операцию
на
определим в соответствии с правилом
.
Выберем числа
и выполним операцию
над этими числами:
т.е. операция коммутативна, но не ассоциативна.
Пример.
Рассмотрим
множество
– квадратных матриц размерности
с вещественными коэффициентами. В
качестве бинарной операции * на
будем рассматривать операции умножения
матриц. Пусть
,
тогда
,
однако
,
т.е. операция умножения на множестве
квадратных матриц ассоциативна, но не
коммутативна.
Определение.
Элемент
называетсяединичным
или нейтральным
относительно рассматриваемой операции
на
,
если
Лемма.
Если
– единичный элемент множества
,
замкнутого относительно операции *, то
он единственный.
Доказательство
.
Пусть
– единичный элемент множества
,
замкнутого относительно операции *.
Предположим, что в
существует ещё один единичный элемент
,
тогда
,
так как
– единичный элемент, и
,
так как
– единичный элемент. Следовательно,
– единственный единичный элемент
множества
.
Определение.
Элемент
называетсяобратным
или симметричным
к элементу
,
если
Пример.
Рассмотрим
множество целых чисел
с операцией сложения
.
Элемент
,
тогда симметричным элементом
будет элемент
.
Действительно,.
В курсе математического анализа
на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких «новых» тем — это открытые и замкнутые множества
. Постараемся дать пояснения по данной тематике.
Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов
:
∈ — принадлежит
∅ — пустое множество
Ε — множество действительных чисел
х* — закреплённая точка
А* — множество граничных точек
: — такое, что
⇒ — следовательно
∀ — для каждого
∃ — существует
U ε (х) — окрестность х по ε
Uº ε (х) — проколотая окрестность х по ε
Итак,
Определение 1:
Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε — открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0: U ε (y) < M
Простым языком — открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)
Определение 2:
Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E — граничная точка, если ∀U ε (x) ∩ М ≠ ∅ и ∀U ε (x) ∩ Е\М
Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок
Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).
Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.
Теорема 1:
Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.
В = Е\А
Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В — незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.
Теорема 2:
Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = Е\А
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В — замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.
Теорема 3:
Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U ε (x) ∩ Е\С ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что Е\С ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.
Математический анализ — это фундаментальная математика, сложная и непривычная для нас. Но надеюсь, что-то стало понятнее после прочтения статьи. В добрый путь!
Posted by |
Типы множеств вещественной прямой
Положение точки относительно множества A
Односторонние окрестности
Топология вещественной прямой
Числовые множества
Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).
Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.
Супремумом множества A, sup A называется …
… наименьшая из его мажорант;
… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;
Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).
Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)
1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.
Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.
2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.
3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).
Окрестности:
U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Проколотые окрестности:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }