Определение стандартные преобразования случайной величины. Вероятность и статистика – основные факты. Преобразования случайных величин
Преобразования случайных величин
По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y , нормированную V и приведенную U . Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y ) = 0, D (Y ) = D (X ). Функция распределения F Y (x ) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F (x ) исходной случайной величины X соотношением:
F Y (x ) = F (x + M (X )).
Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство
f Y (x ) = f (x + M (X )).
Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:
,
где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х . Для функции распределения F V (x ) и плотности f V (x ) нормированной случайной величины V имеем:
где F (x ) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f (x ) – ее плотность вероятности.
Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:
.
Для приведенной случайной величины
Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.
Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b , где a и b – некоторые числа, то
Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).
С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y , заданных формулой Y = aX + b при различных a > 0 и b . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством , порожденным случайной величиной Х . Функции распределения F Y (x ) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F (x ). Вместо Y = aX + b часто используют запись
Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с , а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.
Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).
Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X , где lg X – десятичный логарифм числа Х . Цепочка равенств
F Y (x) = P(lg X < x) = P(X < 10 x) = F(10 x)
связывает функции распределения Х и Y .
Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной.
Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть - закон распределения Тогда очевидно имеем
где - полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора £ из ЗГ, для которых. Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин £ известен
Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов.
Сложность реализации схемы зависит только от конкретного вида функции (р и закона распределения аргументов.
Настоящая глава посвящена реализации схемы в конкретных, важных для приложений, ситуациях.
§1. Функции одного переменного
Пусть £ - случайная величина, закон распределения которой задан функцией распределения F((x), rj = Если F4(y) функция распределения случайной величины rj, то приведенные выше соображения дают
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
где через у) обозначен полный прообраз полу-
прямой (-оо, у). Соотношение (I) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1. Монотонное преобразование случайной величины Пусть (p(t) - непрерывная монотонная функция (для определенности - монотонно невозрастающая) и г) = - Для функции распределения Fn(y) получаем
(здесь - функция, обратная к существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей) аналогичные выкладки дают
В частности, если - линейна, то при а > О (рис. 2)
Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах.
Линейное преобразование равномерной на [а, Ь] случайной величины
Пусть Линейное преобразование нормальной случайной величины
Пусть и вообще, если
Пусть, например, 0. Из (4) заключаем, что
Положим в последнем интеграле Эта замена дает
Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при
Лемма. Если - случайная величина с непрерывной функцией распределения F^(x), то случайная величина г) = - равномерна на .
Имеем
- монотонно не убывает и заключена в пределах о Поэтому
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
На промежутке же получаем
Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения F((x). Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на }